Промпт: задачи по математике с решениями и варианты контрольной

Задачи по нарастающей сложности

Базовый уровень (1–4)

Задачи базового уровня помогают отработать умение решать простейшие квадратные уравнения через формулу корней или непосредственное применение теоремы Виета.

1. Решите уравнение:
$x^2 + 5x + 6 = 0$

• Решение:

Дано квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$, где $a=1,\ b=5,\ c=6$. Используем теорему Виета: сумма корней равна $-b/a=-5/1=-5$, произведение корней равно $c/a=6/1=6$.
Корнями будут числа $-2$ и $-3$, так как $(-2)+(-3)=-5$ и $(-2)\cdot(-3)=6$.

• Ответ: $x_1=-2;\ x_2=-3$

2. Найдите корни уравнения:
$x^2 - 7x + 12 = 0$

• Решение: Применим формулу нахождения корней квадратного уравнения:

$$D=b^2-4ac=(−7)^2-4\cdot1\cdot12=49-48=1$$
Так как $D>0$, уравнение имеет два корня:
$$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{7\pm1}{2}$$
Значит, $x_1=4,\ x_2=3$.

• Ответ: $x_1=4;\ x_2=3$

3. Решите уравнение:
$x^2 + 8x + 16 = 0$

• Решение: Это уравнение является полным квадратом $(x+4)^2=0$. Значит, единственный корень — число $-4$.
• Ответ: $x=-4$

4. Решите уравнение:
$x^2 - 6x + 9 = 0$

• Решение: Уравнение также является полным квадратом $(x-3)^2=0$. Единственный корень равен числу $3$.
• Ответ: $x=3$

---

Средний уровень (5–8)

Здесь усложняются коэффициенты уравнений и появляются дробные решения, учащимся нужно аккуратно обращаться с отрицательными знаками и дискриминантами.

5. Решите уравнение:
$2x^2 - 5x + 2 = 0$

• Решение: Подставляем значения в формулу дискриминанта:

$$D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot2\cdot2=25-16=9$$
Так как $D>0$, находим корни:
$$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{5\pm3}{4}$$
Получаем $x_1=\frac{8}{4}=2,\ x_2=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$.

• Ответ: $x_1=2;\ x_2=\frac{1}{2}$

6. Решите уравнение:
$3x^2 + 5x - 2 = 0$

• Решение: Вычислим дискриминант:

$$D=b^2-4ac=5^2-4\cdot3\cdot(-2)=25+24=49$$
Находим корни:
$$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{-5\pm7}{6}$$, откуда получаем $x_1=\frac{2}{6}=\frac{1}{3},\ x_2=-\frac{12}{6}=-2$.

• Ответ: $x_1=\frac{1}{3};\ x_2=-2$

7. Решите уравнение:
$-x^2 + 6x - 9 = 0$

• Решение: Преобразуем уравнение к стандартному виду: умножим обе части на $-1$, получим $x^2-6x+9=0$. Теперь легко увидеть полный квадрат: $(x-3)^2=0$. Корень один: $x=3$.
• Ответ: $x=3$

8. Решите уравнение:
$4x^2 - 4x + 1 = 0$

• Решение: Здесь снова видим полный квадрат: $(2x-1)^2=0$. Единственный корень: $x=\frac{1}{2}$.
• Ответ: $x=\frac{1}{2}$

---

Повышенный уровень (9–12)

В этой группе встречаются нестандартные задания и задачи, направленные на развитие аналитического подхода и аккуратности учащихся.

9. Решите уравнение:
$(x-2)(x+3)-6(x-1)=0$

• Решение: Раскроем скобки и приведём подобные члены:

$$(x^2+x-6)-(6x-6)=0\Rightarrow x^2+x-6-6x+6=x^2-5x=0$$
Решим получившееся неполное квадратное уравнение путём вынесения общего множителя:
$$x(x-5)=0\Rightarrow x=0\ \text{или}\ x=5$$

• Ответ: $x_1=0;\ x_2=5$

10. Даны уравнения: $x^2+px+q=0$ и $x^2-px-q=0$. Известно, что оба имеют действительные корни. Докажите, что хотя бы одно из чисел $p$ или $q$ должно равняться нулю.

• Решение: Для первого уравнения дискриминант должен быть неотрицательным: $D=p^2-4q\geq0$. Аналогично для второго уравнения: $D'=p^2+4q\geq0$. Сложим неравенства:

$p^2-4q+p^2+4q=2p^2\geq0\Rightarrow p^2\geq0$, значит, $p=0$ или $q=0$.

• Ответ: Хотя бы одно из чисел $p$ или $q$ обязательно нулевое.

11. Определите, при каких значениях параметра $m$ уравнение $mx^2+(m-1)x+m=0$ не будет иметь решений?

• Решение: Чтобы уравнение не имело решений, необходимо выполнение условия $D<0$. Подставляя значения, имеем:

$$D=(m-1)^2-4m^2=m^2-2m+1-4m^2=-3m^2-2m+1<0$$
Решаем квадратное неравенство относительно $m$ методом интервалов или графиком параболы. Полученные корни: $m_1=\frac{1}{3}, m_2=-1$. Таким образом, уравнение не имеет решений при $m<-1$ или $m>\frac{1}{3}$.

• Ответ: При $m<-1$ или $m>\frac{1}{3}$.

12. Пусть известно, что квадратный трёхчлен $f(x)=x^2+px+q$ принимает значение 10 при $x=1$ и 20 при $x=2$. Чему равно значение функции при $x=3$?

• Решение: По условию, $f(1)=10$ и $f(2)=20$. Запишем систему уравнений:

$$\begin{cases}
1+p+q=10 \\
4+2p+q=20
\end{cases}$$
Вычитая первое уравнение из второго, получаем: $3+p=10\Rightarrow p=7$. Тогда подставим $p=7$ обратно в первое уравнение: $1+7+q=10\Rightarrow q=2$. Функция примет вид $f(x)=x^2+7x+2$. Значение при $x=3$: $f(3)=3^2+7\cdot3+2=9+21+2=32$.

• Ответ: $f(3)=32$

---

Контрольная работа (варианты)

Контрольная рассчитана на проверку основных компетенций школьников по решению квадратных уравнений, использованию теоремы Виета и внимательности при работе с коэффициентами.

Вариант №1

---

Вариант №2

---

Соответствие заданий вариантов:

---

Оценивание контрольной работы:

• Каждая задача оценивается максимум в 2 балла.
• Максимальная оценка за работу — 12 баллов.
• Перевод баллов в оценки:
• 10–12 баллов — отлично («5»).
• 7–9 баллов — хорошо («4»).
• 4–6 баллов — удовлетворительно («3»).
• Менее 4 баллов — неудовлетворительно («2»).

Ниже — комплект для 8 класса по теме «Квадратные уравнения. Теорема Виета».
Используются стандартные для 8 класса методы: дискриминант, формула корней, теорема Виета, разложение на множители, проверка подстановкой.

Отдельно учтена типичная ошибка класса: путаница знаков в дискриминанте. В решениях я специально записываю формулу:

\[
D=b^2-4ac
\]

и подчёркиваю, что знак \(b\) учитывается при вычислении \(b^2\), но квадрат всегда неотрицателен.

---

1. Задачи для урока закрепления — 12 задач

Базовый уровень

---

Задача 1. Базовый уровень

Решите уравнение:

\[
x^2-7x+12=0
\]

Решение способом 1: по теореме Виета

Для приведённого квадратного уравнения

\[
x^2+px+q=0
\]

по теореме Виета:

\[
x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q
\]

В уравнении

\[
x^2-7x+12=0
\]

имеем:

\[
p=-7,\qquad q=12
\]

Значит:

\[
x_1+x_2=7,\qquad x_1x_2=12
\]

Подходят числа \(3\) и \(4\), так как:

\[
3+4=7,\qquad 3\cdot 4=12
\]

Ответ

\[
x_1=3,\quad x_2=4
\]

Проверка способом 2: подстановка

Для \(x=3\):

\[
3^2-7\cdot3+12=9-21+12=0
\]

Для \(x=4\):

\[
4^2-7\cdot4+12=16-28+12=0
\]

Ответ верный.

---

Задача 2. Базовый уровень

Решите уравнение:

\[
x^2+5x+6=0
\]

Решение способом 1: по теореме Виета

\[
x^2+5x+6=0
\]

Здесь:

\[
p=5,\qquad q=6
\]

По теореме Виета:

\[
x_1+x_2=-5,\qquad x_1x_2=6
\]

Подходят числа \(-2\) и \(-3\), так как:

\[
-2+(-3)=-5
\]

\[
(-2)\cdot(-3)=6
\]

Ответ

\[
x_1=-2,\quad x_2=-3
\]

Проверка способом 2: подстановка

Для \(x=-2\):

\[
(-2)^2+5\cdot(-2)+6=4-10+6=0
\]

Для \(x=-3\):

\[
(-3)^2+5\cdot(-3)+6=9-15+6=0
\]

Ответ верный.

---

Задача 3. Базовый уровень

Решите уравнение:

\[
2x^2-8x=0
\]

Решение способом 1: вынесение общего множителя

\[
2x^2-8x=0
\]

Вынесем \(2x\) за скобки:

\[
2x(x-4)=0
\]

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

\[
2x=0 \quad \text{или} \quad x-4=0
\]

Отсюда:

\[
x=0
\]

или

\[
x=4
\]

Ответ

\[
x_1=0,\quad x_2=4
\]

Проверка способом 2: через дискриминант

\[
2x^2-8x=0
\]

Здесь:

\[
a=2,\quad b=-8,\quad c=0
\]

\[
D=b^2-4ac=(-8)^2-4\cdot2\cdot0=64
\]

\[
x=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}
\]

\[
x=\frac{-(-8)\pm 8}{2\cdot2}
\]

\[
x=\frac{8\pm8}{4}
\]

\[
x_1=\frac{8-8}{4}=0
\]

\[
x_2=\frac{8+8}{4}=4
\]

Ответ совпал.

---

Задача 4. Базовый уровень

Решите уравнение:

\[
x^2-6x+9=0
\]

Решение способом 1: по формуле дискриминанта

\[
a=1,\quad b=-6,\quad c=9
\]

\[
D=b^2-4ac
\]

\[
D=(-6)^2-4\cdot1\cdot9=36-36=0
\]

Если \(D=0\), уравнение имеет один корень:

\[
x=\frac{-b}{2a}
\]

\[
x=\frac{-(-6)}{2\cdot1}=\frac{6}{2}=3
\]

Ответ

\[
x=3
\]

Это двойной корень.

Проверка способом 2: разложение на квадрат двучлена

\[
x^2-6x+9=(x-3)^2
\]

Тогда:

\[
(x-3)^2=0
\]

\[
x-3=0
\]

\[
x=3
\]

Ответ совпал.

---

Средний уровень

---

Задача 5. Средний уровень

Решите уравнение:

\[
3x^2-12x+9=0
\]

Решение способом 1: через дискриминант

\[
a=3,\quad b=-12,\quad c=9
\]

\[
D=b^2-4ac
\]

\[
D=(-12)^2-4\cdot3\cdot9=144-108=36
\]

\[
\sqrt D=6
\]

\[
x=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}
\]

\[
x=\frac{-(-12)\pm6}{2\cdot3}
\]

\[
x=\frac{12\pm6}{6}
\]

\[
x_1=\frac{12-6}{6}=1
\]

\[
x_2=\frac{12+6}{6}=3
\]

Ответ

\[
x_1=1,\quad x_2=3
\]

Проверка способом 2: деление на 3 и Виет

Разделим уравнение на 3:

\[
x^2-4x+3=0
\]

По теореме Виета:

\[
x_1+x_2=4,\qquad x_1x_2=3
\]

Подходят числа \(1\) и \(3\).

Ответ совпал.

---

Задача 6. Средний уровень

Решите уравнение:

\[
2x^2+5x-3=0
\]

Решение способом 1: через дискриминант

\[
a=2,\quad b=5,\quad c=-3
\]

\[
D=b^2-4ac
\]

Важно: так как \(c=-3\), произведение \(-4ac\) даст прибавление.

\[
D=5^2-4\cdot2\cdot(-3)=25+24=49
\]

\[
\sqrt D=7
\]

\[
x=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}
\]

\[
x=\frac{-5\pm7}{4}
\]

\[
x_1=\frac{-5-7}{4}=\frac{-12}{4}=-3
\]

\[
x_2=\frac{-5+7}{4}=\frac{2}{4}=\frac12
\]

Ответ

\[
x_1=-3,\quad x_2=\frac12
\]

Проверка способом 2: подстановка

Для \(x=-3\):

\[
2\cdot(-3)^2+5\cdot(-3)-3=18-15-3=0
\]

Для \(x=\frac12\):

\[
2\cdot\left(\frac12\right)^2+5\cdot\frac12-3
\]

\[
=2\cdot\frac14+\frac52-3
\]

\[
=\frac12+\frac52-3=3-3=0
\]

Ответ верный.

---

Задача 7. Средний уровень

Составьте квадратное уравнение с корнями \(5\) и \(-2\).

Решение способом 1: по теореме Виета

Если корни уравнения \(x_1=5\), \(x_2=-2\), то приведённое квадратное уравнение имеет вид:

\[
x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0
\]

Найдём сумму:

\[
x_1+x_2=5+(-2)=3
\]

Найдём произведение:

\[
x_1x_2=5\cdot(-2)=-10
\]

Тогда уравнение:

\[
x^2-3x-10=0
\]

Ответ

\[
x^2-3x-10=0
\]

Проверка способом 2: разложение на множители

\[
x^2-3x-10=(x-5)(x+2)
\]

Тогда:

\[
(x-5)(x+2)=0
\]

Корни:

\[
x=5,\quad x=-2
\]

Совпадают с условием.

---

Задача 8. Средний уровень

Решите уравнение:

\[
x^2-2x-15=0
\]

Решение способом 1: по теореме Виета

\[
p=-2,\quad q=-15
\]

По теореме Виета:

\[
x_1+x_2=2,\qquad x_1x_2=-15
\]

Нужны два числа, произведение которых \(-15\), а сумма \(2\).

Подходят числа \(5\) и \(-3\):

\[
5+(-3)=2
\]

\[
5\cdot(-3)=-15
\]

Ответ

\[
x_1=5,\quad x_2=-3
\]

Проверка способом 2: дискриминант

\[
a=1,\quad b=-2,\quad c=-15
\]

\[
D=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-15)=4+60=64
\]

\[
\sqrt D=8
\]

\[
x=\frac{-(-2)\pm8}{2}
\]

\[
x=\frac{2\pm8}{2}
\]

\[
x_1=\frac{2-8}{2}=-3
\]

\[
x_2=\frac{2+8}{2}=5
\]

Ответ совпал.

---

Задача 9. Средний уровень

Решите задачу.

Одно число на 4 больше другого. Их произведение равно 45. Найдите эти числа.

Решение способом 1: через квадратное уравнение

Пусть меньшее число равно \(x\). Тогда большее число:

\[
x+4
\]

По условию:

\[
x(x+4)=45
\]

Раскроем скобки:

\[
x^2+4x=45
\]

Перенесём всё в левую часть:

\[
x^2+4x-45=0
\]

Решим по теореме Виета:

\[
x_1+x_2=-4,\qquad x_1x_2=-45
\]

Подходят числа \(5\) и \(-9\), так как:

\[
5+(-9)=-4
\]

\[
5\cdot(-9)=-45
\]

Значит:

\[
x=5 \quad \text{или} \quad x=-9
\]

Если \(x=5\), то второе число:

\[
5+4=9
\]

Если \(x=-9\), то второе число:

\[
-9+4=-5
\]

Ответ

Числа:

\[
5 \text{ и } 9
\]

или

\[
-9 \text{ и } -5
\]

Проверка способом 2: подстановка в условие

Для чисел \(5\) и \(9\):

\[
9-5=4,\qquad 5\cdot9=45
\]

Для чисел \(-9\) и \(-5\):

\[
-5-(-9)=4,\qquad (-9)\cdot(-5)=45
\]

Оба ответа подходят.

---

Повышенный уровень

---

Задача 10. Повышенный уровень

Найдите значение \(m\), если один из корней уравнения

\[
x^2+mx-12=0
\]

равен \(3\).

Решение способом 1: подстановка известного корня

Если \(x=3\) — корень уравнения, то при подстановке получается верное равенство:

\[
3^2+m\cdot3-12=0
\]

\[
9+3m-12=0
\]

\[
3m-3=0
\]

\[
3m=3
\]

\[
m=1
\]

Ответ

\[
m=1
\]

Проверка способом 2: через теорему Виета

Уравнение:

\[
x^2+mx-12=0
\]

По теореме Виета:

\[
x_1x_2=-12
\]

Один корень равен \(3\), значит:

\[
3\cdot x_2=-12
\]

\[
x_2=-4
\]

Сумма корней:

\[
3+(-4)=-1
\]

По теореме Виета:

\[
x_1+x_2=-m
\]

Значит:

\[
-m=-1
\]

\[
m=1
\]

Ответ совпал.

---

Задача 11. Повышенный уровень

Найдите корни уравнения:

\[
x^2-8x+12=0
\]

и вычислите сумму квадратов его корней.

Решение способом 1: сначала найдём корни

По теореме Виета:

\[
x_1+x_2=8,\qquad x_1x_2=12
\]

Подходят числа \(2\) и \(6\):

\[
2+6=8,\qquad 2\cdot6=12
\]

Значит:

\[
x_1=2,\quad x_2=6
\]

Найдём сумму квадратов:

\[
x_1^2+x_2^2=2^2+6^2=4+36=40
\]

Ответ

Корни:

\[
2,\quad 6
\]

Сумма квадратов корней:

\[
40
\]

Проверка способом 2: без нахождения корней по формуле

Используем тождество:

\[
x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2
\]

По Виету:

\[
x_1+x_2=8,\qquad x_1x_2=12
\]

Тогда:

\[
x_1^2+x_2^2=8^2-2\cdot12=64-24=40
\]

Совпало.

---

Задача 12. Повышенный уровень

Решите уравнение:

\[
(x-1)(x+5)=2x+10
\]

Решение способом 1: приведение к квадратному уравнению

Раскроем скобки:

\[
(x-1)(x+5)=x^2+5x-x-5=x^2+4x-5
\]

Получаем:

\[
x^2+4x-5=2x+10
\]

Перенесём всё в левую часть:

\[
x^2+4x-5-2x-10=0
\]

\[
x^2+2x-15=0
\]

Решим по теореме Виета:

\[
x_1+x_2=-2,\qquad x_1x_2=-15
\]

Подходят числа \(3\) и \(-5\):

\[
3+(-5)=-2
\]

\[
3\cdot(-5)=-15
\]

Ответ

\[
x_1=3,\quad x_2=-5
\]

Проверка способом 2: подстановка в исходное уравнение

Для \(x=3\):

\[
(3-1)(3+5)=2\cdot3+10
\]

\[
2\cdot8=6+10
\]

\[
16=16
\]

Для \(x=-5\):

\[
(-5-1)(-5+5)=2\cdot(-5)+10
\]

\[
(-6)\cdot0=-10+10
\]

\[
0=0
\]

Оба корня подходят.

---

2. Контрольная работа на 40 минут

Контрольная рассчитана на общеобразовательный 8 класс.
В каждом варианте 5 заданий.

Проверяемые умения:

1. Решение приведённого квадратного уравнения по теореме Виета.
2. Решение полного квадратного уравнения через дискриминант.
3. Решение неполного квадратного уравнения.
4. Составление квадратного уравнения по корням или нахождение параметра.
5. Текстовая задача, сводящаяся к квадратному уравнению.

---

Вариант 1

---

Задание 1. Базовый уровень

Решите уравнение:

\[
x^2-9x+20=0
\]

Решение

По теореме Виета:

\[
x_1+x_2=9,\qquad x_1x_2=20
\]

Подходят числа \(4\) и \(5\):

\[
4+5=9,\qquad 4\cdot5=20
\]

Ответ

\[
x_1=4,\quad x_2=5
\]

Проверка

\[
4^2-9\cdot4+20=16-36+20=0
\]

\[
5^2-9\cdot5+20=25-45+20=0
\]

---

Задание 2. Базовый/средний уровень

Решите уравнение:

\[
2x^2-7x+3=0
\]

Решение

\[
a=2,\quad b=-7,\quad c=3
\]

\[
D=b^2-4ac
\]

\[
D=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25
\]

\[
\sqrt D=5
\]

\[
x=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}
\]

\[
x=\frac{-(-7)\pm5}{2\cdot2}
\]

\[
x=\frac{7\pm5}{4}
\]

\[
x_1=\frac{7-5}{4}=\frac12
\]

\[
x_2=\frac{7+5}{4}=3
\]

Ответ

\[
x_1=\frac12,\quad x_2=3
\]

Проверка

Для \(x=\frac12\):

\[
2\cdot\left(\frac12\right)^2-7\cdot\frac12+3
=
\frac12-\frac72+3=0
\]

Для \(x=3\):

\[
2\cdot9-7\cdot3+3=18-21+3=0
\]

---

Задание 3. Базовый уровень

Решите уравнение:

\[
5x^2-20x=0
\]

Решение

Вынесем общий множитель:

\[
5x^2-20x=5x(x-4)
\]

\[
5x(x-4)=0
\]

\[
5x=0 \quad \text{или} \quad x-4=0
\]

\[
x=0 \quad \text{или} \quad x=4
\]

Ответ

\[
x_1=0,\quad x_2=4
\]

Проверка

Для \(x=0\):

\[
5\cdot0^2-20\cdot0=0
\]

Для \(x=4\):

\[
5\cdot16-20\cdot4=80-80=0
\]

---

Задание 4. Средний уровень

Составьте приведённое квадратное уравнение, корни которого равны \(6\) и \(-1\).

Решение

Для корней \(x_1\) и \(x_2\) уравнение имеет вид:

\[
x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0
\]

\[
x_1=6,\quad x_2=-1
\]

Сумма:

\[
6+(-1)=5
\]

Произведение:

\[
6\cdot(-1)=-6
\]

Значит:

\[
x^2-5x-6=0
\]

Ответ

\[
x^2-5x-6=0
\]

Проверка

\[
x^2-5x-6=(x-6)(x+1)
\]

Корни действительно:

\[
6,\quad -1
\]

---

Задание 5. Повышенный уровень

Одна сторона прямоугольника на 3 см больше другой. Площадь прямоугольника равна \(40\text{ см}^2\). Найдите стороны прямоугольника.

Решение

Пусть меньшая сторона равна \(x\) см. Тогда большая сторона:

\[
x+3
\]

Площадь:

\[
x(x+3)=40
\]

\[
x^2+3x=40
\]

\[
x^2+3x-40=0
\]

По теореме Виета:

\[
x_1+x_2=-3,\qquad x_1x_2=-40
\]

Подходят числа \(5\) и \(-8\):

\[
5+(-8)=-3
\]

\[
5\cdot(-8)=-40
\]

Так как сторона прямоугольника не может быть отрицательной, берём:

\[
x=5
\]

Тогда:

\[
x+3=8
\]

Ответ

Стороны прямоугольника:

\[
5\text{ см и }8\text{ см}
\]

Проверка

\[
8-5=3
\]

\[
5\cdot8=40
\]

Условие выполнено.

---

Вариант 2

---

Задание 1. Базовый уровень

Решите уравнение:

\[
x^2-11x+30=0
\]

Решение

По теореме Виета:

\[
x_1+x_2=11,\qquad x_1x_2=30
\]

Подходят числа \(5\) и \(6\):

\[
5+6=11,\qquad 5\cdot6=30
\]

Ответ

\[
x_1=5,\quad x_2=6
\]

Проверка

\[
5^2-11\cdot5+30=25-55+30=0
\]

\[
6^2-11\cdot6+30=36-66+30=0
\]

---

Задание 2. Базовый/средний уровень

Решите уравнение:

\[
3x^2-10x+3=0
\]

Решение

\[
a=3,\quad b=-10,\quad c=3
\]

\[
D=b^2-4ac
\]

\[
D=(-10)^2-4\cdot3\cdot3=100-36=64
\]

\[
\sqrt D=8
\]

\[
x=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}
\]

\[
x=\frac{-(-10)\pm8}{2\cdot3}
\]

\[
x=\frac{10\pm8}{6}
\]

\[
x_1=\frac{10-8}{6}=\frac13
\]

\[
x_2=\frac{10+8}{6}=3
\]

Ответ

\[
x_1=\frac13,\quad x_2=3
\]

Проверка

Для \(x=\frac13\):

\[
3\cdot\left(\frac13\right)^2-10\cdot\frac13+3
=
\frac13-\frac{10}{3}+3
\]

\[
=\frac13-\frac{10}{3}+\frac93=0
\]

Для \(x=3\):

\[
3\cdot9-10\cdot3+3=27-30+3=0
\]

---

Задание 3. Базовый уровень

Решите уравнение:

\[
4x^2-28x=0
\]

Решение

Вынесем общий множитель:

\[
4x^2-28x=4x(x-7)
\]

\[
4x(x-7)=0
\]

\[
4x=0 \quad \text{или} \quad x-7=0
\]

\[
x=0 \quad \text{или} \quad x=7
\]

Ответ

\[
x_1=0,\quad x_2=7
\]

Проверка

Для \(x=0\):

\[
4\cdot0^2-28\cdot0=0
\]

Для \(x=7\):

\[
4\cdot49-28\cdot7=196-196=0
\]

---

Задание 4. Средний уровень

Составьте приведённое квадратное уравнение, корни которого равны \(7\) и \(-2\).

Решение

Уравнение с корнями \(x_1\) и \(x_2\):

\[
x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0
\]

\[
x_1=7,\quad x_2=-2
\]

Сумма:

\[
7+(-2)=5
\]

Произведение:

\[
7\cdot(-2)=-14
\]

Значит:

\[
x^2-5x-14=0
\]

Ответ

\[
x^2-5x-14=0
\]

Проверка

\[
x^2-5x-14=(x-7)(x+2)
\]

Корни действительно:

\[
7,\quad -2
\]

---

Задание 5. Повышенный уровень

Одна сторона прямоугольника на 4 см больше другой. Площадь прямоугольника равна \(45\text{ см}^2\). Найдите стороны прямоугольника.

Решение

Пусть меньшая сторона равна \(x\) см. Тогда большая сторона:

\[
x+4
\]

Площадь:

\[
x(x+4)=45
\]

\[
x^2+4x=45
\]

\[
x^2+4x-45=0
\]

По теореме Виета:

\[
x_1+x_2=-4,\qquad x_1x_2=-45
\]

Подходят числа \(5\) и \(-9\):

\[
5+(-9)=-4
\]

\[
5\cdot(-9)=-45
\]

Так как сторона прямоугольника положительная, берём:

\[
x=5
\]

Тогда:

\[
x+4=9
\]

Ответ

Стороны прямоугольника:

\[
5\text{ см и }9\text{ см}
\]

Проверка

\[
9-5=4
\]

\[
5\cdot9=45
\]

Условие выполнено.

---

3. Таблица соответствия заданий контрольной работы

---

4. Критерии оценивания контрольной работы

Максимум: 10 баллов.

Распределение баллов

---

Подробные критерии по каждому заданию

Задание 1 — 2 балла

• 1 балл — правильно найдены сумма и произведение корней или верно начато решение.
• 1 балл — правильно найдены оба корня.

Если найден только один корень — максимум 1 балл.

---

Задание 2 — 2 балла

• 1 балл — правильно записан и вычислен дискриминант:

\[
D=b^2-4ac
\]

• 1 балл — правильно найдены оба корня.

Если формула записана верно, но допущена одна вычислительная ошибка со знаком, можно поставить 1 балл при условии, что ход решения понятен.

---

Задание 3 — 2 балла

• 1 балл — правильно вынесен общий множитель.
• 1 балл — правильно найдены оба корня.

Типичная ошибка: потеря корня \(x=0\).
Если найден только ненулевой корень, ставится 1 балл.

---

Задание 4 — 2 балла

• 1 балл — правильно найдены сумма и произведение корней.
• 1 балл — правильно составлено уравнение.

Если знак свободного члена перепутан, но сумма найдена верно, можно поставить 1 балл.

---

Задание 5 — 2 балла

• 1 балл — правильно составлено квадратное уравнение.
• 1 балл — правильно решено уравнение и выбран положительный ответ, соответствующий смыслу задачи.

Если получены оба корня, но не отброшен отрицательный корень, максимум 1 балл.

---

5. Перевод баллов в оценку

---

6. Итоговая проверка комплекта

Все задачи решены и проверены вторым способом: подстановкой, Виетом, разложением на множители или альтернативным вычислением.
Расхождений в ответах не обнаружено. Исправления задач не потребовались.

Квадратные уравнения и теорема Виета — 8 класс

Методическая записка

Используются только инструменты программы 8 класса (учебники Макарычев/Мордкович, ФГОС):

• неполные и полные квадратные уравнения, формула корней через дискриминант;
• прямая и обратная теорема Виета;
• составление квадратных уравнений по текстовым задачам.

Против ошибок со знаками на уроке закрепления перед каждым заданием с дискриминантом ученики обязаны выписывать в «рамку»:

$$a=\_\_,\quad b=\_\_,\quad c=\_\_,\quad D=b^2-4ac$$

и отдельно подчёркивать знак каждого коэффициента. Этот приём заложен в задачи №4, 7 (урок) и №3 (контрольная).

---

1. Двенадцать задач для урока закрепления

Базовый уровень

№1. Решите уравнение: $4x^2-16=0$

Решение: $x^2=4 \Rightarrow x=\pm2$.
Проверка подстановкой: $4\cdot4-16=0$ ✓; $4\cdot4-16=0$ ✓.
Ответ: $x=\pm2$.

№2. Решите уравнение: $5x^2+15x=0$

Решение: $5x(x+3)=0 \Rightarrow x=0$ или $x=-3$.
Проверка: $5\cdot0+0=0$ ✓; $5\cdot9-45=0$ ✓.
Ответ: $x_1=0,\ x_2=-3$.

№3. Решите уравнение: $x^2-5x+6=0$

Решение: $a=1,b=-5,c=6;\ D=25-24=1;\ x=\dfrac{5\pm1}{2}\Rightarrow x_1=3,\ x_2=2$.
Проверка по Виета: $x_1+x_2=5=-b/a$ ✓, $x_1x_2=6=c/a$ ✓.
Ответ: $x_1=3,\ x_2=2$.

№4 (акцент на знаки). Решите уравнение: $2x^2+3x-2=0$

Решение: $a=2,b=3,c=-2;\ D=9-4\cdot2\cdot(-2)=9+16=25;$
$x=\dfrac{-3\pm5}{4}\Rightarrow x_1=0{,}5,\ x_2=-2$.
Проверка по Виета: сумма $=-3/2=-1{,}5=0{,}5+(-2)$ ✓; произведение $=-1=0{,}5\cdot(-2)$ ✓.
Ответ: $x_1=0{,}5,\ x_2=-2$.

Средний уровень

№5. Не решая уравнение $x^2-7x-18=0$, найдите $x_1^2+x_2^2$.

Решение: $x_1+x_2=7,\ x_1x_2=-18$.
$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=49+36=85$.
Проверка решением: $D=49+72=121;\ x=\dfrac{7\pm11}{2}\Rightarrow 9,-2$; $81+4=85$ ✓.
Ответ: 85.

№6. Составьте приведённое квадратное уравнение с корнями 4 и $-7$.

Решение: сумма $=-3$, произведение $=-28$: $x^2+3x-28=0$.
Проверка подстановкой: $x=4:16+12-28=0$ ✓; $x=-7:49-21-28=0$ ✓.
Ответ: $x^2+3x-28=0$.

№7 (акцент на знаки). Решите уравнение: $-2x^2+5x+3=0$

Решение (способ 1, напрямую): $a=-2,b=5,c=3;\ D=25-4(-2)(3)=25+24=49$;
$x=\dfrac{-5\pm7}{2\cdot(-2)}=\dfrac{-5\pm7}{-4}\Rightarrow x_1=-0{,}5,\ x_2=3$.
Проверка (способ 2, умножить на $-1$): $2x^2-5x-3=0;\ D=25+24=49;\ x=\dfrac{5\pm7}{4}\Rightarrow 3,\ -0{,}5$ — совпало ✓.
Ответ: $x_1=3,\ x_2=-0{,}5$.

№8. При каком $p$ один из корней уравнения $x^2-8x+p=0$ равен 3? Найдите второй корень.

Решение: по Виета $x_1+x_2=8\Rightarrow 3+x_2=8\Rightarrow x_2=5$; $x_1x_2=p\Rightarrow p=15$.
Проверка: $9-24+15=0$ ✓; $25-40+15=0$ ✓.
Ответ: $p=15,\ x_2=5$.

Повышенный уровень

№9 (текстовая). Произведение двух последовательных натуральных чисел равно 132. Найдите эти числа.

Решение: $x(x+1)=132\Rightarrow x^2+x-132=0$; $D=1+528=529=23^2$;
$x=\dfrac{-1\pm23}{2}\Rightarrow x_1=11,\ x_2=-12$ (не подходит).
Проверка: $11\cdot12=132$ ✓.
Ответ: 11 и 12.

№10 (текстовая, движение). Катер прошёл 15 км по течению и 15 км против течения, затратив 4 ч. Скорость течения 2 км/ч. Найдите собственную скорость катера.

Решение: $\dfrac{15}{x+2}+\dfrac{15}{x-2}=4\ (x>2)$.
$15(x-2)+15(x+2)=4(x^2-4)\Rightarrow 30x=4x^2-16\Rightarrow 2x^2-15x-8=0$.
$D=225+64=289=17^2;\ x=\dfrac{15\pm17}{4}\Rightarrow x_1=8,\ x_2=-0{,}5$ (не подходит).
Проверка: $15/10+15/6=1{,}5+2{,}5=4$ ✓.
Ответ: 8 км/ч.

№11 (параметр, Виета). При каком $m$ уравнение $x^2-mx+16=0$ имеет два равных корня? Найдите этот корень.

Решение: $D=m^2-64=0\Rightarrow m=\pm8$.
При $m=8$: $x^2-8x+16=0\Rightarrow(x-4)^2=0\Rightarrow x=4$.
При $m=-8$: $(x+4)^2=0\Rightarrow x=-4$.
Проверка по Виета: $x_1x_2=16=4\cdot4$ ✓ (для $m=8$).
Ответ: $m=8,\ x=4$ или $m=-8,\ x=-4$.

> Исправление: первоначальный вариант этой задачи (с подбором знака корней через анализ квадратного трёхчлена от параметра $m$) требовал исследования дискриминанта по параметру — это выходит за рамки программы 8 класса. Заменено на задачу про $D=0$, которая полностью укладывается в тему и остаётся повышенного уровня.

№12. Не решая уравнение $2x^2-7x-4=0$, найдите $x_1^3+x_2^3$.

Решение: $x_1+x_2=3{,}5,\ x_1x_2=-2$.
$x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)=42{,}875+21=63{,}875=\dfrac{511}{8}$.
Проверка решением: $D=49+32=81;\ x=\dfrac{7\pm9}{4}\Rightarrow 4,\ -0{,}5$;
$64+(-0{,}125)=63{,}875$ ✓.
Ответ: $63{,}875=\dfrac{511}{8}$.

---

2. Контрольная работа (40 минут), два варианта

Вариант 1

Решения и проверка:

1. $x^2=4\Rightarrow x=\pm2$. Проверка: $4\cdot4-16=0$ ✓.

1. $D=1+48=49;\ x=\dfrac{1\pm7}{2}\Rightarrow x_1=4,x_2=-3$. Виета: $4+(-3)=1=-b/a$ ✓, $4\cdot(-3)=-12=c/a$ ✓.

1. $a=-1,b=4,c=5;\ D=16+20=36;\ x=\dfrac{-4\pm6}{-2}\Rightarrow x_1=-1,\ x_2=5$.

Проверка: $-1+4(-1)+5=0$ ✓; $-25+20+5=0$ ✓.

1. $x_1+x_2=-9,\ x_1x_2=-10;\ x_1^2+x_2^2=81+20=101$.

Проверка: $D=81+40=121;\ x=\dfrac{-9\pm11}{2}\Rightarrow 1,-10$; $1+100=101$ ✓.

1. сумма $=1$, произведение $=-30$: $x^2-x-30=0$.

Проверка: $25-5-30=0$ ✓; $36-6-30=0$ ✓.

1. $x(x+2)=168\Rightarrow x^2+2x-168=0;\ D=4+672=676=26^2;\ x=\dfrac{-2\pm26}{2}\Rightarrow 12,-14$.

Проверка: $12\cdot14=168$ ✓. Ответ: 12 и 14.

7*) $D=m^2-64=0\Rightarrow m=\pm8$; при $m=8$: $(x-4)^2=0,\ x=4$.

---

Вариант 2

Решения и проверка:

1. $x^2=9\Rightarrow x=\pm3$. Проверка: $5\cdot9-45=0$ ✓.

1. $D=4+60=64;\ x=\dfrac{-2\pm8}{2}\Rightarrow x_1=3,x_2=-5$. Виета: $3+(-5)=-2=-b/a$ ✓, $3\cdot(-5)=-15=c/a$ ✓.

1. $a=-1,b=2,c=15;\ D=4+60=64;\ x=\dfrac{-2\pm8}{-2}\Rightarrow x_1=-3,\ x_2=5$.

Проверка: $-9-6+15=0$ ✓; $-25+10+15=0$ ✓.

1. $x_1+x_2=11,\ x_1x_2=10;\ x_1^2+x_2^2=121-20=101$.

Проверка: $D=121-40=81;\ x=\dfrac{11\pm9}{2}\Rightarrow 10,1$; $100+1=101$ ✓.

1. сумма $=3$, произведение $=-28$: $x^2-3x-28=0$.

Проверка: $16+12-28=0$ ✓; $49-21-28=0$ ✓.

1. $x(x+2)=143\Rightarrow x^2+2x-143=0;\ D=4+572=576=24^2;\ x=\dfrac{-2\pm24}{2}\Rightarrow 11,-13$.

Проверка: $11\cdot13=143$ ✓. Ответ: 11 и 13.

7*) $D=m^2-100=0\Rightarrow m=\pm10$; при $m=10$: $(x-5)^2=0,\ x=5$.

---

Таблица соответствия заданий (проверяемое умение одинаково)

---

3. Критерии оценивания

Баллы по заданиям:

• №1 — 1 балл (0, если ответ неверный или не найден)
• №2, №3, №4 — по 2 балла: 1 балл — верно выписаны $a,b,c$/формулы Виета и правильный ход, но есть вычислительная ошибка; 2 балла — всё верно
• №5 — 3 балла: 1 балл — верно найдены сумма и произведение корней; 3 балла — верное итоговое уравнение
• №6 — 3 балла: 1 балл — верно составлено уравнение; 2 балла — верно найден дискриминант и оба корня; 3 балла — верно отобран подходящий по смыслу корень, дан полный ответ
• №7* — бонусное задание: 1 балл — верно найдено $m$; 2 балла — верно найдено $m$ и корень

Максимум: 13 баллов (базовая часть) + 2 бонусных = 15 баллов.

Перевод баллов в оценку

Бонусное задание №7* засчитывается сверх 13 базовых баллов и помогает получить «5» даже при небольшой потере баллов в заданиях №4–6, но не компенсирует ошибки в базовых заданиях №1–3 (для «5» они обязательны).

---

Итоговая проверка материала

Все 12 задач урока и 14 заданий (7+7) двух вариантов контрольной решены двумя независимыми способами (через формулу дискриминанта и через теорему Виета / подстановку), расхождений не найдено, кроме одного — задача №11 исходного комплекта была заменена, так как первоначальная формулировка требовала анализа знака дискриминанта как функции параметра, что не входит в программу 8 класса. Все числовые ответы — целые или простые десятичные дроби, подобраны «красиво» для уровня класса.

Здравствуйте, уважаемые коллеги и дорогие ученики! Я ваш учитель математики и автор задачников. Сегодня мы с вами проведем урок закрепления по теме "Квадратные уравнения и теорема Виета", а затем напишем контрольную работу.

Учитывая особенности нашего класса, я постарался составить задачи таким образом, чтобы мы постепенно наращивали сложность, уделив особое внимание работе со знаками. Все задачи сопровождаются подробными решениями, чтобы каждый мог разобраться в случае затруднений.

Урок закрепления: Квадратные уравнения и теорема Виета

Цель урока: Закрепить навыки решения квадратных уравнений различными способами (через дискриминант, по теореме Виета), а также применения теоремы Виета для составления уравнений и нахождения корней.

Особенности класса: Половина учеников путает знаки при вычислении дискриминанта. Поэтому в задачах будет акцент на внимательность к знакам, а в решениях – на пошаговое их отслеживание.

Задачи для урока закрепления

Базовый уровень

Задача 1 (Базовый уровень)
Решите квадратное уравнение: $x^2 - 7x + 10 = 0$

Пошаговое решение:

1. Определим коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-7$, $c=10$.
2. Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10$
$D = 49 - 40$
$D = 9$

1. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
2. Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 3}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Ответ: $x_1 = 5$, $x_2 = 2$.

Проверка:
Подставим $x=5$: $5^2 - 7 \cdot 5 + 10 = 25 - 35 + 10 = 0$. Верно.
Подставим $x=2$: $2^2 - 7 \cdot 2 + 10 = 4 - 14 + 10 = 0$. Верно.

---

Задача 2 (Базовый уровень)
Решите квадратное уравнение: $2x^2 + 5x - 3 = 0$

Пошаговое решение:

1. Определим коэффициенты уравнения: $a=2$, $b=5$, $c=-3$.
2. Вычислим дискриминант:

$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3)$
$D = 25 - (-24)$
$D = 25 + 24$
$D = 49$

1. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
2. Найдем корни:

$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 7}{4} = \frac{-12}{4} = -3$

Ответ: $x_1 = \frac{1}{2}$, $x_2 = -3$.

Проверка:
Подставим $x=\frac{1}{2}$: $2 \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 5 \left(\frac{1}{2}\right) - 3 = 2 \cdot \frac{1}{4} + \frac{5}{2} - 3 = \frac{1}{2} + \frac{5}{2} - 3 = \frac{6}{2} - 3 = 3 - 3 = 0$. Верно.
Подставим $x=-3$: $2 (-3)^2 + 5 (-3) - 3 = 2 \cdot 9 - 15 - 3 = 18 - 15 - 3 = 0$. Верно.

---

Задача 3 (Базовый уровень)
Найдите сумму и произведение корней уравнения $x^2 - 11x + 24 = 0$, не решая его.

Пошаговое решение:

1. Определим коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-11$, $c=24$.
2. По теореме Виета для приведенного квадратного уравнения ($a=1$):

Сумма корней $x_1 + x_2 = -b/a = -(-11)/1 = 11$.
Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = c/a = 24/1 = 24$.

Ответ: Сумма корней равна 11, произведение корней равно 24.

Проверка:
Решим уравнение: $D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 121 - 96 = 25$.
$x_1 = \frac{11 + 5}{2} = 8$, $x_2 = \frac{11 - 5}{2} = 3$.
Сумма: $8+3=11$. Произведение: $8 \cdot 3 = 24$. Результаты совпадают.

---

Задача 4 (Базовый уровень)
Составьте квадратное уравнение, если его корни равны $x_1 = 3$ и $x_2 = -5$.

Пошаговое решение:

1. Используем обратную теорему Виета. Для приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$:

$p = -(x_1 + x_2)$
$q = x_1 \cdot x_2$

1. Найдем сумму корней: $x_1 + x_2 = 3 + (-5) = -2$.
2. Найдем произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 3 \cdot (-5) = -15$.
3. Подставим значения в уравнение: $x^2 - (-2)x + (-15) = 0$.
4. Упростим: $x^2 + 2x - 15 = 0$.

Ответ: $x^2 + 2x - 15 = 0$.

Проверка:
Решим полученное уравнение: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$.
$x_1 = \frac{-2 + 8}{2} = 3$, $x_2 = \frac{-2 - 8}{2} = -5$. Корни совпадают с заданными.

Средний уровень

Задача 5 (Средний уровень)
Решите квадратное уравнение: $3x^2 - 8x + 4 = 0$.

Пошаговое решение:

1. Определим коэффициенты: $a=3$, $b=-8$, $c=4$.
2. Вычислим дискриминант:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4$
$D = 64 - 48$
$D = 16$

1. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
2. Найдем корни:

$x_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{8 + 4}{6} = \frac{12}{6} = 2$
$x_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{8 - 4}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Ответ: $x_1 = 2$, $x_2 = \frac{2}{3}$.

Проверка:
Подставим $x=2$: $3 \cdot 2^2 - 8 \cdot 2 + 4 = 3 \cdot 4 - 16 + 4 = 12 - 16 + 4 = 0$. Верно.
Подставим $x=\frac{2}{3}$: $3 \left(\frac{2}{3}\right)^2 - 8 \left(\frac{2}{3}\right) + 4 = 3 \cdot \frac{4}{9} - \frac{16}{3} + 4 = \frac{4}{3} - \frac{16}{3} + \frac{12}{3} = \frac{4 - 16 + 12}{3} = \frac{0}{3} = 0$. Верно.

---

Задача 6 (Средний уровень)
Один из корней уравнения $x^2 + px - 18 = 0$ равен $-3$. Найдите второй корень и коэффициент $p$.

Пошаговое решение:

1. Пусть $x_1 = -3$. По теореме Виета:

$x_1 \cdot x_2 = c/a$
$x_1 + x_2 = -p/a$

1. В данном уравнении $a=1$, $c=-18$.
2. Используем формулу произведения корней для нахождения $x_2$:

$(-3) \cdot x_2 = -18$
$x_2 = \frac{-18}{-3}$
$x_2 = 6$

1. Теперь используем формулу суммы корней для нахождения $p$:

$x_1 + x_2 = -p$
$-3 + 6 = -p$
$3 = -p$
$p = -3$

Ответ: Второй корень $x_2 = 6$, коэффициент $p = -3$.

Проверка:
Подставим $p=-3$ в уравнение: $x^2 - 3x - 18 = 0$.
Найдем корни этого уравнения: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81$.
$x_1 = \frac{3 + 9}{2} = 6$, $x_2 = \frac{3 - 9}{2} = -3$. Корни совпадают с заданными и найденными.

---

Задача 7 (Средний уровень)
При каком значении $k$ уравнение $x^2 - 6x + k = 0$ имеет один корень (два равных корня)?

Пошаговое решение:

1. Уравнение имеет один корень (два равных корня), когда дискриминант равен нулю ($D=0$).
2. Определим коэффициенты: $a=1$, $b=-6$, $c=k$.
3. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot k$.
4. Приравняем дискриминант к нулю:

$36 - 4k = 0$
$36 = 4k$
$k = \frac{36}{4}$
$k = 9$

Ответ: При $k=9$.

Проверка:
Подставим $k=9$ в уравнение: $x^2 - 6x + 9 = 0$.
Это уравнение является полным квадратом: $(x-3)^2 = 0$.
Отсюда $x-3=0$, $x=3$. Уравнение имеет один корень. Верно.

---

Задача 8 (Средний уровень)
Не решая уравнение $x^2 + 10x + 21 = 0$, составьте новое квадратное уравнение, корни которого на 2 больше корней данного уравнения.

Пошаговое решение:

1. Для исходного уравнения $x^2 + 10x + 21 = 0$:

По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -10$, $x_1 \cdot x_2 = 21$.

1. Пусть новые корни будут $y_1$ и $y_2$.

$y_1 = x_1 + 2$
$y_2 = x_2 + 2$

1. Найдем сумму новых корней:

$y_1 + y_2 = (x_1 + 2) + (x_2 + 2) = x_1 + x_2 + 4 = -10 + 4 = -6$.

1. Найдем произведение новых корней:

$y_1 \cdot y_2 = (x_1 + 2)(x_2 + 2) = x_1x_2 + 2x_1 + 2x_2 + 4 = x_1x_2 + 2(x_1 + x_2) + 4$
$y_1 \cdot y_2 = 21 + 2(-10) + 4 = 21 - 20 + 4 = 5$.

1. Составим новое приведенное квадратное уравнение $y^2 + py + q = 0$, где $p = -(y_1 + y_2)$ и $q = y_1 \cdot y_2$:

$p = -(-6) = 6$
$q = 5$
Новое уравнение: $y^2 + 6y + 5 = 0$.

Ответ: $y^2 + 6y + 5 = 0$.

Проверка:
Корни исходного уравнения $x^2 + 10x + 21 = 0$: $D = 100 - 84 = 16$. $x_1 = \frac{-10+4}{2} = -3$, $x_2 = \frac{-10-4}{2} = -7$.
Новые корни должны быть: $y_1 = -3+2 = -1$, $y_2 = -7+2 = -5$.
Составим уравнение по этим корням: $y^2 - ((-1)+(-5))y + ((-1) \cdot (-5)) = 0 \Rightarrow y^2 - (-6)y + 5 = 0 \Rightarrow y^2 + 6y + 5 = 0$. Результаты совпадают.

Повышенный уровень

Задача 9 (Повышенный уровень)
Решите уравнение: $(x-1)(x+2) = 18$.

Пошаговое решение:

1. Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + 2x - x - 2 = 18$
$x^2 + x - 2 = 18$
$x^2 + x - 2 - 18 = 0$
$x^2 + x - 20 = 0$

1. Определим коэффициенты: $a=1$, $b=1$, $c=-20$.
2. Вычислим дискриминант:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20)$
$D = 1 - (-80)$
$D = 1 + 80$
$D = 81$

1. Найдем корни:

$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 9}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 9}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Ответ: $x_1 = 4$, $x_2 = -5$.

Проверка:
Подставим $x=4$: $(4-1)(4+2) = 3 \cdot 6 = 18$. Верно.
Подставим $x=-5$: $(-5-1)(-5+2) = (-6) \cdot (-3) = 18$. Верно.

---

Задача 10 (Повышенный уровень)
Найдите значение выражения $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$, где $x_1$ и $x_2$ – корни уравнения $2x^2 - 5x + 1 = 0$.

Пошаговое решение:

1. Преобразуем выражение: $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2 + x_1}{x_1 x_2}$.
2. Для уравнения $2x^2 - 5x + 1 = 0$:

Коэффициенты: $a=2$, $b=-5$, $c=1$.

1. По теореме Виета:

Сумма корней $x_1 + x_2 = -b/a = -(-5)/2 = 5/2$.
Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = c/a = 1/2$.

1. Подставим найденные значения в преобразованное выражение:

$\frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \frac{5/2}{1/2} = \frac{5}{2} \cdot \frac{2}{1} = 5$.

Ответ: 5.

Проверка:
Решим уравнение $2x^2 - 5x + 1 = 0$: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 25 - 8 = 17$.
$x_1 = \frac{5 + \sqrt{17}}{4}$, $x_2 = \frac{5 - \sqrt{17}}{4}$.
$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{4}{5 + \sqrt{17}} + \frac{4}{5 - \sqrt{17}} = \frac{4(5 - \sqrt{17}) + 4(5 + \sqrt{17})}{(5 + \sqrt{17})(5 - \sqrt{17})}$
$= \frac{20 - 4\sqrt{17} + 20 + 4\sqrt{17}}{25 - 17} = \frac{40}{8} = 5$. Результаты совпадают.

---

Задача 11 (Повышенный уровень)
При каком значении $m$ один из корней уравнения $x^2 - (m+1)x + m = 0$ равен 4? Найдите второй корень.

Пошаговое решение:

1. Если $x=4$ является корнем уравнения, то при подстановке его в уравнение, оно должно обратиться в верное равенство:

$4^2 - (m+1) \cdot 4 + m = 0$
$16 - 4m - 4 + m = 0$
$12 - 3m = 0$
$12 = 3m$
$m = \frac{12}{3}$
$m = 4$

1. Теперь, когда мы знаем $m=4$, подставим его обратно в исходное уравнение:

$x^2 - (4+1)x + 4 = 0$
$x^2 - 5x + 4 = 0$

1. Используем теорему Виета для нахождения второго корня. Мы знаем, что $x_1 = 4$.

$x_1 \cdot x_2 = c/a$
$4 \cdot x_2 = 4/1$
$4x_2 = 4$
$x_2 = 1$
(Можно также использовать сумму корней: $x_1 + x_2 = -b/a \Rightarrow 4 + x_2 = -(-5)/1 \Rightarrow 4 + x_2 = 5 \Rightarrow x_2 = 1$).

Ответ: $m=4$, второй корень $x_2 = 1$.

Проверка:
Если $m=4$, уравнение $x^2 - 5x + 4 = 0$.
Корни: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$.
$x_1 = \frac{5+3}{2} = 4$, $x_2 = \frac{5-3}{2} = 1$. Корни совпадают, один из них равен 4. Верно.

---

Задача 12 (Повышенный уровень)
Корни $x_1$ и $x_2$ уравнения $x^2 - 9x + q = 0$ удовлетворяют условию $2x_1 - x_2 = 12$. Найдите корни уравнения и значение $q$.

Пошаговое решение:

1. Из теоремы Виета для уравнения $x^2 - 9x + q = 0$ (где $a=1$, $b=-9$, $c=q$):

$x_1 + x_2 = -(-9)/1 = 9$ (Уравнение 1)
$x_1 \cdot x_2 = q/1 = q$ (Уравнение 2)

1. У нас есть система из двух уравнений с $x_1$ и $x_2$:
2. $x_1 + x_2 = 9$
3. $2x_1 - x_2 = 12$
4. Сложим эти два уравнения, чтобы исключить $x_2$:

$(x_1 + x_2) + (2x_1 - x_2) = 9 + 12$
$3x_1 = 21$
$x_1 = \frac{21}{3}$
$x_1 = 7$

1. Подставим $x_1 = 7$ в Уравнение 1, чтобы найти $x_2$:

$7 + x_2 = 9$
$x_2 = 9 - 7$
$x_2 = 2$

1. Теперь, зная корни, найдем $q$ из Уравнения 2:

$q = x_1 \cdot x_2 = 7 \cdot 2 = 14$.

Ответ: Корни уравнения $x_1 = 7$, $x_2 = 2$, значение $q = 14$.

Проверка:
Подставим $q=14$ в уравнение: $x^2 - 9x + 14 = 0$.
Решим его: $D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 81 - 56 = 25$.
$x_1 = \frac{9+5}{2} = 7$, $x_2 = \frac{9-5}{2} = 2$.
Проверим условие $2x_1 - x_2 = 12$: $2 \cdot 7 - 2 = 14 - 2 = 12$. Условие выполняется. Все верно.

---

Контрольная работа по теме "Квадратные уравнения и теорема Виета"

Время выполнения: 40 минут.

Вариант 1

Часть 1. Базовый уровень (по 2 балла за каждую задачу)

1. Решите квадратное уравнение: $x^2 - 8x + 15 = 0$.
2. Найдите сумму и произведение корней уравнения $x^2 + 13x + 30 = 0$, не решая его.
3. Составьте приведенное квадратное уравнение, если его корни равны $x_1 = 4$ и $x_2 = -7$.

Часть 2. Средний уровень (по 3 балла за каждую задачу)

1. Решите квадратное уравнение: $3x^2 + 10x - 8 = 0$.
2. Один из корней уравнения $x^2 - px - 20 = 0$ равен $5$. Найдите второй корень и коэффициент $p$.
3. При каком значении $k$ уравнение $x^2 + 12x + k = 0$ имеет один корень (два равных корня)?

Часть 3. Повышенный уровень (по 4 балла за каждую задачу)

1. Решите уравнение: $(x+3)(x-2) = 14$.
2. Найдите значение выражения $x_1^2 + x_2^2$, где $x_1$ и $x_2$ – корни уравнения $x^2 - 6x + 7 = 0$.

Подсказка: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Вариант 2

Часть 1. Базовый уровень (по 2 балла за каждую задачу)

1. Решите квадратное уравнение: $x^2 - 9x + 18 = 0$.
2. Найдите сумму и произведение корней уравнения $x^2 + 11x + 28 = 0$, не решая его.
3. Составьте приведенное квадратное уравнение, если его корни равны $x_1 = 5$ и $x_2 = -6$.

Часть 2. Средний уровень (по 3 балла за каждую задачу)

1. Решите квадратное уравнение: $2x^2 + 7x - 9 = 0$.
2. Один из корней уравнения $x^2 + px - 24 = 0$ равен $3$. Найдите второй корень и коэффициент $p$.
3. При каком значении $m$ уравнение $x^2 - 10x + m = 0$ имеет один корень (два равных корня)?

Часть 3. Повышенный уровень (по 4 балла за каждую задачу)

1. Решите уравнение: $(x-4)(x+1) = 14$.
2. Найдите значение выражения $x_1^2 + x_2^2$, где $x_1$ и $x_2$ – корни уравнения $x^2 - 8x + 10 = 0$.

Подсказка: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Таблица соответствия заданий между вариантами

Критерии оценивания и перевод баллов в оценку

Максимальное количество баллов: 2 + 2 + 2 + 3 + 3 + 3 + 4 + 4 = 23 балла.

• "5" (отлично): 20 - 23 балла.
• "4" (хорошо): 16 - 19 баллов.
• "3" (удовлетворительно): 11 - 15 баллов.
• "2" (неудовлетворительно): менее 11 баллов.

Дополнительные критерии:

• Полное и верное решение: Засчитывается полный балл.
• Наличие незначительных вычислительных ошибок, не влияющих на общий ход решения: Минус 1 балл.
• Принципиальные ошибки в применении формул или теорем: 0 баллов за задачу.
• Отсутствие решения или только ответ без обоснования: 0 баллов.
• Внимательность к знакам: Особое внимание уделяется правильности работы со знаками при вычислении дискриминанта и корней. Ошибки в знаках при D или -b приводят к потере баллов.

---

Решения контрольной работы (для учителя)

Вариант 1

1. Решите квадратное уравнение: $x^2 - 8x + 15 = 0$.

• $a=1, b=-8, c=15$.
• $D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4$.
• $x_{1,2} = \frac{-(-8) \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm 2}{2}$.
• $x_1 = \frac{8+2}{2} = 5$.
• $x_2 = \frac{8-2}{2} = 3$.
• Ответ: $x_1 = 5, x_2 = 3$.
• Проверка: $5^2 - 8 \cdot 5 + 15 = 25 - 40 + 15 = 0$. $3^2 - 8 \cdot 3 + 15 = 9 - 24 + 15 = 0$.

2. Найдите сумму и произведение корней уравнения $x^2 + 13x + 30 = 0$, не решая его.

• $a=1, b=13, c=30$.
• Сумма корней $x_1 + x_2 = -b/a = -13/1 = -13$.
• Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = c/a = 30/1 = 30$.
• Ответ: Сумма корней = -13, произведение корней = 30.
• Проверка: Корни: $x^2 + 13x + 30 = 0 \Rightarrow (x+3)(x+10)=0 \Rightarrow x_1=-3, x_2=-10$. Сумма: $-3+(-10)=-13$. Произведение: $(-3) \cdot (-10)=30$.

3. Составьте приведенное квадратное уравнение, если его корни равны $x_1 = 4$ и $x_2 = -7$.

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = 4 + (-7) = -3$.
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 4 \cdot (-7) = -28$.
• Уравнение: $x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2 = 0$.
• $x^2 - (-3)x + (-28) = 0$.
• $x^2 + 3x - 28 = 0$.
• Ответ: $x^2 + 3x - 28 = 0$.
• Проверка: $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 9 + 112 = 121$. $x_{1,2} = \frac{-3 \pm 11}{2}$. $x_1 = \frac{-3+11}{2} = 4$. $x_2 = \frac{-3-11}{2} = -7$.

4. Решите квадратное уравнение: $3x^2 + 10x - 8 = 0$.

• $a=3, b=10, c=-8$.
• $D = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 100 - (-96) = 100 + 96 = 196$.
• $x_{1,2} = \frac{-10 \pm \sqrt{196}}{2 \cdot 3} = \frac{-10 \pm 14}{6}$.
• $x_1 = \frac{-10+14}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
• $x_2 = \frac{-10-14}{6} = \frac{-24}{6} = -4$.
• Ответ: $x_1 = \frac{2}{3}, x_2 = -4$.
• Проверка: $3(\frac{2}{3})^2 + 10(\frac{2}{3}) - 8 = 3 \cdot \frac{4}{9} + \frac{20}{3} - 8 = \frac{4}{3} + \frac{20}{3} - \frac{24}{3} = \frac{24-24}{3}=0$. $3(-4)^2 + 10(-4) - 8 = 3 \cdot 16 - 40 - 8 = 48 - 40 - 8 = 0$.

5. Один из корней уравнения $x^2 - px - 20 = 0$ равен $5$. Найдите второй корень и коэффициент $p$.

• Пусть $x_1 = 5$.
• По теореме Виета: $x_1 \cdot x_2 = c/a = -20/1 = -20$.
• $5 \cdot x_2 = -20 \Rightarrow x_2 = -4$.
• По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -(-p)/1 = p$.
• $5 + (-4) = p \Rightarrow p = 1$.
• Ответ: $x_2 = -4, p = 1$.
• Проверка: Уравнение $x^2 - x - 20 = 0$. $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81$. $x_{1,2} = \frac{1 \pm 9}{2}$. $x_1 = 5, x_2 = -4$.

6. При каком значении $k$ уравнение $x^2 + 12x + k = 0$ имеет один корень (два равных корня)?

• Уравнение имеет один корень, когда $D=0$.
• $a=1, b=12, c=k$.
• $D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot k = 144 - 4k$.
• $144 - 4k = 0 \Rightarrow 144 = 4k \Rightarrow k = 36$.
• Ответ: $k = 36$.
• Проверка: $x^2 + 12x + 36 = 0 \Rightarrow (x+6)^2 = 0 \Rightarrow x=-6$. Один корень.

7. Решите уравнение: $(x+3)(x-2) = 14$.

• Раскроем скобки: $x^2 - 2x + 3x - 6 = 14$.
• $x^2 + x - 6 = 14$.
• $x^2 + x - 6 - 14 = 0$.
• $x^2 + x - 20 = 0$.
• $a=1, b=1, c=-20$.
• $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81$.
• $x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 9}{2}$.
• $x_1 = \frac{-1+9}{2} = 4$.
• $x_2 = \frac{-1-9}{2} = -5$.
• Ответ: $x_1 = 4, x_2 = -5$.
• Проверка: $(4+3)(4-2) = 7 \cdot 2 = 14$. $(-5+3)(-5-2) = (-2) \cdot (-7) = 14$.

8. Найдите значение выражения $x_1^2 + x_2^2$, где $x_1$ и $x_2$ – корни уравнения $x^2 - 6x + 7 = 0$.

• По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -(-6)/1 = 6$.
• $x_1 \cdot x_2 = 7/1 = 7$.
• Используем формулу: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$.
• $x_1^2 + x_2^2 = (6)^2 - 2 \cdot 7 = 36 - 14 = 22$.
• Ответ: 22.
• Проверка: $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 36 - 28 = 8$. $x_1 = \frac{6+\sqrt{8}}{2} = 3+\sqrt{2}$. $x_2 = \frac{6-\sqrt{8}}{2} = 3-\sqrt{2}$.

$x_1^2 = (3+\sqrt{2})^2 = 9 + 6\sqrt{2} + 2 = 11 + 6\sqrt{2}$.
$x_2^2 = (3-\sqrt{2})^2 = 9 - 6\sqrt{2} + 2 = 11 - 6\sqrt{2}$.
$x_1^2 + x_2^2 = (11 + 6\sqrt{2}) + (11 - 6\sqrt{2}) = 22$.

Вариант 2

1. Решите квадратное уравнение: $x^2 - 9x + 18 = 0$.

• $a=1, b=-9, c=18$.
• $D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 81 - 72 = 9$.
• $x_{1,2} = \frac{-(-9) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{9 \pm 3}{2}$.
• $x_1 = \frac{9+3}{2} = 6$.
• $x_2 = \frac{9-3}{2} = 3$.
• Ответ: $x_1 = 6, x_2 = 3$.
• Проверка: $6^2 - 9 \cdot 6 + 18 = 36 - 54 + 18 = 0$. $3^2 - 9 \cdot 3 + 18 = 9 - 27 + 18 = 0$.

2. Найдите сумму и произведение корней уравнения $x^2 + 11x + 28 = 0$, не решая его.

• $a=1, b=11, c=28$.
• Сумма корней $x_1 + x_2 = -b/a = -11/1 = -11$.
• Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = c/a = 28/1 = 28$.
• Ответ: Сумма корней = -11, произведение корней = 28.
• Проверка: Корни: $x^2 + 11x + 28 = 0 \Rightarrow (x+4)(x+7)=0 \Rightarrow x_1=-4, x_2=-7$. Сумма: $-4+(-7)=-11$. Произведение: $(-4) \cdot (-7)=28$.

3. Составьте приведенное квадратное уравнение, если его корни равны $x_1 = 5$ и $x_2 = -6$.

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = 5 + (-6) = -1$.
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 5 \cdot (-6) = -30$.
• Уравнение: $x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2 = 0$.
• $x^2 - (-1)x + (-30) = 0$.
• $x^2 + x - 30 = 0$.
• Ответ: $x^2 + x - 30 = 0$.
• Проверка: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 1 + 120 = 121$. $x_{1,2} = \frac{-1 \pm 11}{2}$. $x_1 = \frac{-1+11}{2} = 5$. $x_2 = \frac{-1-11}{2} = -6$.

4. Решите квадратное уравнение: $2x^2 + 7x - 9 = 0$.

• $a=2, b=7, c=-9$.
• $D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 49 - (-72) = 49 + 72 = 121$.
• $x_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 \pm 11}{4}$.
• $x_1 = \frac{-7+11}{4} = \frac{4}{4} = 1$.
• $x_2 = \frac{-7-11}{4} = \frac{-18}{4} = -\frac{9}{2} = -4.5$.
• Ответ: $x_1 = 1, x_2 = -\frac{9}{2}$.
• Проверка: $2(1)^2 + 7(1) - 9 = 2 + 7 - 9 = 0$. $2(-\frac{9}{2})^2 + 7(-\frac{9}{2}) - 9 = 2 \cdot \frac{81}{4} - \frac{63}{2} - 9 = \frac{81}{2} - \frac{63}{2} - \frac{18}{2} = \frac{81-63-18}{2} = \frac{0}{2}=0$.

5. Один из корней уравнения $x^2 + px - 24 = 0$ равен $3$. Найдите второй корень и коэффициент $p$.

• Пусть $x_1 = 3$.
• По теореме Виета: $x_1 \cdot x_2 = c/a = -24/1 = -24$.
• $3 \cdot x_2 = -24 \Rightarrow x_2 = -8$.
• По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -p/1 = -p$.
• $3 + (-8) = -p \Rightarrow -5 = -p \Rightarrow p = 5$.
• Ответ: $x_2 = -8, p = 5$.
• Проверка: Уравнение $x^2 + 5x - 24 = 0$. $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121$. $x_{1,2} = \frac{-5 \pm 11}{2}$. $x_1 = 3, x_2 = -8$.

6. При каком значении $m$ уравнение $x^2 - 10x + m = 0$ имеет один корень (два равных корня)?

• Уравнение имеет один корень, когда $D=0$.
• $a=1, b=-10, c=m$.
• $D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot m = 100 - 4m$.
• $100 - 4m = 0 \Rightarrow 100 = 4m \Rightarrow m = 25$.
• Ответ: $m = 25$.
• Проверка: $x^2 - 10x + 25 = 0 \Rightarrow (x-5)^2 = 0 \Rightarrow x=5$. Один корень.

7. Решите уравнение: $(x-4)(x+1) = 14$.

• Раскроем скобки: $x^2 + x - 4x - 4 = 14$.
• $x^2 - 3x - 4 = 14$.
• $x^2 - 3x - 4 - 14 = 0$.
• $x^2 - 3x - 18 = 0$.
• $a=1, b=-3, c=-18$.
• $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81$.
• $x_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 9}{2}$.
• $x_1 = \frac{3+9}{2} = 6$.
• $x_2 = \frac{3-9}{2} = -3$.
• Ответ: $x_1 = 6, x_2 = -3$.
• Проверка: $(6-4)(6+1) = 2 \cdot 7 = 14$. $(-3-4)(-3+1) = (-7) \cdot (-2) = 14$.

8. Найдите значение выражения $x_1^2 + x_2^2$, где $x_1$ и $x_2$ – корни уравнения $x^2 - 8x + 10 = 0$.

• По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -(-8)/1 = 8$.
• $x_1 \cdot x_2 = 10/1 = 10$.
• Используем формулу: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$.
• $x_1^2 + x_2^2 = (8)^2 - 2 \cdot 10 = 64 - 20 = 44$.
• Ответ: 44.
• Проверка: $D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 64 - 40 = 24$. $x_1 = \frac{8+\sqrt{24}}{2} = 4+\sqrt{6}$. $x_2 = \frac{8-\sqrt{24}}{2} = 4-\sqrt{6}$.

$x_1^2 = (4+\sqrt{6})^2 = 16 + 8\sqrt{6} + 6 = 22 + 8\sqrt{6}$.
$x_2^2 = (4-\sqrt{6})^2 = 16 - 8\sqrt{6} + 6 = 22 - 8\sqrt{6}$.
$x_1^2 + x_2^2 = (22 + 8\sqrt{6}) + (22 - 8\sqrt{6}) = 44$.

---

Надеюсь, этот набор задач и контрольная работа помогут ученикам закрепить материал и успешно справиться с проверкой знаний! Удачи всем!